Considere duas empresas em um mercado perfeitamente competitivo. As funções lucro das empresas 1 e 2 são definidas, respectivamente, por:
π1 = pq1 − c1(q1, x)
π2 = pq2 − c2(q2, x),
em que p é o preço, q1 e q2 são as quantidades produzidas pelas empresas 1 e 2, respectivamente; c1( ) e c2( ) são as funções custos das empresas 1 e 2, respectivamente, e x é o nível de poluição (externalidade) definido apenas pela empresa 1, de tal forma que, o custo marginal de x é negativo para a empresa 1(∂c1/∂x< 0) e positivo para a empresa 2 (∂c2/∂x> 0).
Considere duas situações:
1. A solução ótima de externalidade sem coordenação entre as empresas.
2. A solução ótima de externalidade com coordenação entre as empresas.
As condições de primeira ordem na solução ótima da externalidade nas situações 1 e 2 são, respectivamente,