Questões de Teorema Binomial

João é filho de um professor de Matemática. No aniversário de João, seu pai presenteou-lhe com uma quantidade de “x reais”, a qual foi representada pela soma das parcelas \(inom{11}{K}\) para \(0 \leq K \leq 11\), isto é, \(x = inom{11}{0} + inom{11}{1} + inom{11}{2} + inom{11}{3} + inom{11}{4} + ... + inom{11}{10} + inom{11}{11}\)

É CORRETO afirmar que João recebeu de presente:

Assinale a opção que corresponde ao coeficiente do termo correspondente à potência \(x^{9}\) da expansão de \((2x^{2} - 2\sqrt{x} + 3)^{6}\).

O coeficiente de x³ no desenvolvimento de (2x − 1)⁶ pelo Binômio de Newton é:

A expansão binomial é uma ferramenta importante no estudo da álgebra, pode ser utilizada para simplificar cálculos ou para compreender relações entre variáveis de uma função. Ao expandir um binômio elevado a uma potência inteira e positiva identifica-se um polinômio que pode ser analisado para determinar o valor de coeficientes específicos. O desenvolvimento da potência (x² - 2)¹⁰, por exemplo, resulta em polinômio na variável x.

O coeficiente de x² no polinômio obtido por meio do desenvolvimento indicado é igual a

No polinômio (x^³ + 1)^⁵, o coeficiente do termo x^⁹ é igual a

Considerando os quatro primeiros monômios da expansão de (1 + x)¹⁰ pelo binômio de Newton, assinale a opção que apresenta a aproximação obtida até a segunda casa decimal para 1,1¹⁰.

Observe a soma binominal abaixo: \[\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n} = 20\]

O valor de n é:

O conjunto solução S da equação binomial abaixo é: \[\binom{10}{2x-6} = \binom{10}{x+1}\]

Considere as sentenças abaixo sobre o desenvolvimento do Binômio de Newton:

I. O número de termos no desenvolvimento \((a + b)^{n}\) é sempre \(n + 1\).

II. No desenvolvimento de \((a + b)^{n}\), o coeficiente do termo geral \(\binom{n}{k} a^{n-k}b^{k}\) é dado pelo coeficiente binomial geral \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).

III. Para \((x + y)^{n}\), o termo do meio no desenvolvimento ocorre sempre para \(k = \frac{n}{2}\), independentemente de \(n\) ser par ou ímpar.

IV. Os coeficientes do desenvolvimento do Binômio de Newton formam uma sequência simétrica.

Assinale a alternativa CORRETA:

O coeficiente de x³ no desenvolvimento de (2 – 3x)⁵ é: