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Em um estudo fictício avançado de cosmologia teórica, postula-se que a força de interação \(\vec{F}\) entre duas massas escuras, \(m_1\) e \(m_2\), separadas por uma distância \(r\), segue uma lei modificada expressa por \[\vec{F} = \Gamma \frac{m_1 m_2}{r^4} e^{-\left(\frac{kr}{v}\right)}\] onde \(v\) é uma velocidade constante e \(k\) representa uma frequência fundamental de oscilação do vácuo. Com base nessas informações, analise as seguintes assertivas sobre a física e a geometria envolvidas:
I. Para que a equação da força seja dimensionalmente consistente, a constante \(\Gamma\) deve possuir dimensões de \([M]^{-1}[L]^5[T]^{-2}\) no Sistema Internacional de Unidades.
II. O argumento da função exponencial \(\left(\frac{kr}{v}\right)\) é uma grandeza adimensional, o que está em conformidade com os princípios da análise dimensional para funções transcendentes.
III. Dados os vetores \(\vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}\), \(\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}\) e \(\vec{c} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}\), o volume do paralelepípedo cujas arestas coincidem com esses vetores, calculado pelo módulo do produto misto \(| \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) |\), seria de 47 unidades de volume.
Quais estão corretas?