Questões Colégio Naval para Concursos

No triângulo isósceles ABC, AB = AC = 13 e BC = 10. Em AC marca-se R e S, com CR = 2x e CS = x. Paralelo a AB e passando por S traça-se o segmento ST, com T em BC. Por fim, marcam-se U, P e Q, simétricos de T, S e R, nessa ordem, e relativo à altura de ABC com pé sobre BC. Ao analisar a medida inteira x para que a área do hexágono PQRSTU seja máxima, obtém-se:

Dado que o número de elementos dos conjuntos A e B são, respectivamente, p e q, analise as sentenças que seguem sobre o número N de subconjuntos não vazios de A\(\cup\)B.

I - N = 2^p+2^q-1

II - N = 2^pq-1

III- N = 2^p+q-1

IV - N = 2^p-1, se a quantidade de elementos de A\(\cap\)B é p.

Com isso, pode-se afirmar que a quantidade dessas afirmativas que são verdadeiras é:

O número de divisores positivos de 10²⁰¹⁵ que são múltiplos de 10²⁰⁰⁰ é

Sejam A = {1, 2, 3, ..., 4029, 4030} um subconjunto dos números naturais e B\(\subset\)A, tal que não existem x e y, x \( eq\) y, pertencentes a B nos quais x divida y. O número máximo de elementos de B é N. Sendo assim, a soma dos algarismos de N é

Seja ABCD um quadrado de lado "2a" cujo centro é "O". Os pontos M, P e Q são os pontos médios dos lados AB, AD e BC, respectivamente. O segmento BP intersecta a circunferência de centro "O" e raio "a" em R e, também OM, em "S". Sendo assim, a área do triângulo SMR é

ABC é um triângulo equilátero. Seja D um ponto do plano de ABC, externo a esse triângulo, tal que DB intersecta AC em E, com E pertencendo ao lado AC. Sabe-se que \(B\hat{A}D = A\hat{C}D = 90^{\circ}\). Sendo assim, a razão entre as áreas dos triângulos BEC e ABE é

Seja ABC um triângulo de lados medindo 8, 10 e 12. Sejam M, N e P os pés das alturas traçadas dos vértices sobre os lados desse triângulo. Sendo assim, o raio do círculo circunscrito ao triângulo MNP é

Na multiplicação de um número k por 70, por esquecimento, não se colocou o zero à direita, encontrando-se, com isso, um resultado 32823 unidades menor. Sendo assim, o valor para a soma dos algarismos de k é

Seja n um número natural e \(\oplus\) um operador matemático que aplicado a qualquer número natural, separa os algarismos pares, os soma, e a esse resultado, acrescenta tantos zeros quanto for o número obtido. Exemplo: \(\oplus(3256)=2+6=8\), logo fica: 80000000. Sendo assim, o produto \([\oplus(20)] \cdot [\oplus(21)] \cdot [\oplus(22)] \cdot [\oplus(23)] \cdot [\oplus(24)] \cdot ... \cdot [\oplus(29)]\) possuirá uma quantidade de zeros igual a

Seja x um número real tal que \(x^{3}+x^{2}+x+x^{-1}+x^{-2}+x^{-3}+2 = 0\). Para cada valor possível de x, obtém-se o resultado da soma de x² com seu inverso. Sendo assim, o valor da soma desses resultados é