Questões de Polinômios

No final do capítulo VII do livro O homem que calculava, obra de Júlio César de Mello e Souza (Malba Tahan), um mistério é apresentado a Beremiz, matemático e protagonista da história. Trata-se de uma dívida de 50 reais que foi paga da seguinte forma, em dias diferentes: foram pagos 20 reais, depois 15, depois 10 e por último 5 reais. A soma dos valores pagos é igual a 50, e, nesse caso, a soma dos saldos devedores respectivos aos valores pagos — 30, 15, 5 e 0 — também é igual a 50. Trata-se de uma situação, da história recente da matemática, propícia para ser implementada em sala de aula, pois podem ser feitas generalizações ou variações do problema, para se trabalharem determinados conteúdos de matemática. Em uma atividade de sala de aula acerca de polinômios e equações de primeiro grau, utilizando-se essa perspectiva e tendo-se essa obra como base, é possível generalizar a forma como a dívida é paga em quatro parcelas positivas — a, b, c e d — e concluir, por meio de manipulações algébricas elementares, que,

Considere o polinômio p(x) = 2x³ - 19x² + 19x + k. Se p(-1) = 0, então p(0) vale

Considere os polinômios a seguir: \(P(x) = ax^{3} + (b - 1)x^{2} + cx + d\) e \(Q(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 5x + 1\).

Se \(P(x) = Q(x)\) para todo número real \(x\), qual é o valor da expressão \(a + 3b + c + 5d\)?

Durante uma aula no 3º ano do Ensino Médio, um professor propõe a análise da seguinte equação: x³ - 6x² + 11x - 6 = 0

Um estudante, ao observar os coeficientes, utiliza corretamente as Relações de Girard e afirma que a soma das raízes é 6 e o produto também é 6. Em seguida, outro estudante questiona: “É possível determinar se as raízes são reais ou complexas sem resolver a equação explicitamente?”. O professor decide explorar essa dúvida como oportunidade para aprofundar a compreensão dos estudantes sobre as propriedades dos polinômios. Considerando os aspectos matemáticos envolvidos e o potencial pedagógico da situação, analise as assertivas a seguir:

I. Se um polinômio de grau 𝑛 com coeficientes reais possui uma raiz complexa 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ( 𝑏 ≠ 0), então seu conjugado 𝑧̅= 𝑎 − 𝑏𝑖 também é obrigatoriamente raiz do polinômio.

II. Para a equação x³ - 6x² + 11x - 6 = 0, as Relações de Girard permitem concluir que, se as raízes estiverem em progressão aritmética, a raiz central será necessariamente igual a 2.

III. O Teorema Fundamental da Álgebra garante que um polinômio de grau 𝑛 ≥ 1 possui exatamente 𝑛 raízes reais, contando multiplicidades.

IV. De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, se o polinômio 𝑃(𝑥) = x³ - 6x² + 11x - 6 possuir raízes racionais, elas pertencerão obrigatoriamente ao conjunto {−6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6}.

Quais estão corretas?

Um servidor do setor de estatística de um órgão público precisa somar dois polinômios que representam modelos de projeção de gastos mensais. Os polinômios são:  P(x) = 3x² + 5x – 2

 Q(x) = 2x² – 3x + 4

O servidor deve realizar a adição P(x) + Q(x) e, em seguida, registrar o polinômio resultante em um relatório. Para isso, ele precisa reduzir os termos semelhantes, ou seja, somar os coeficientes dos termos de mesmo grau. Assinale a alternativa que apresenta corretamente o polinômio obtido após a soma.

A função f: ℝ → ℝ é definida por f(x) = x⁵ - 13x⁴ + 59x³ - 107x² + 60x. As raízes da equação f(x) = 0 são: x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 3, x₄ = 4 e x₅ = 5. Suponha que a identificação das raízes fosse realizada através do método da bissecção com intervalo inicial [-2,6].

Nessas condições, para qual raiz as iterações iriam convergir?

Considere os três polinômios p(x) = 2x³ - 3x² - 3x + 2, q(x) = x² + a, com a ∈ ℝ e r(x) = xⁿ - 1, com n ∈ ℕ* e analise as afirmativas abaixo:

I. O polinômio p(x) é divisível por x - 2.

II. O resto da divisão de p(x) por (x + 2) é igual a -20.

III. Se a = 1, então q(x) é divisível por (x + a).

IV. O resto da divisão de r(x) por (x + 1) é igual a 0 se n é ímpar.

Estão corretas apenas as afirmativas:

Sejam \(p(x) = 3x^{4} + 6x^{2}\) e \(q(x) = x^{2} + 2\), então o polinômio \(f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} - 3x^{2} + x\) tem grau

Seja S o conjunto das raízes do polinômio \(q(x) = x^{4} - 10x^{3} + 20x^{2} + 10x - 21\). Ao lançar um dado comum (com seis faces numeradas de 1 a 6), qual a probabilidade P de a face superior ser um número que pertence a S?

Considere as afirmações a seguir sobre o polinômio P(x) = x^³ − 6x^² + 11x – 6 e assinale-as com V ou F conforme sejam verdadeiras ou falsas.

( ) O número 1 é raiz de P(x).

( ) O polinômio P(x) pode ser fatorado como (x−1)(x−2)(x−3).

( ) A equação P(x) = 0 possui exatamente duas raízes reais e uma imaginária.

( ) A soma das raízes da equação P(x) = 0 é igual a 6.

A sequência correta, de cima para baixo, é: