Questões Educação Matemática para Concursos

Um professor de Matemática propõe uma atividade prática sobre educação financeira. Ele apresenta a seguinte situação: um investidor aplica um capital de R$ 10.000,00 por um período de 2 anos. O banco oferece duas modalidades de investimento:

• Modalidade A: juros simples de 10% ao ano.

• Modalidade B: juros compostos de 10% ao ano, com capitalização anual.

Ao final do período de 2 anos, qual será a diferença (em R$) entre o montante obtido na Modalidade B e o montante obtido na Modalidade A?

Em uma turma de 40 alunos de um curso técnico, a nota mínima para aprovação é 60 pontos. Após a primeira avaliação, a média dos alunos aprovados foi 75 pontos, a média dos alunos reprovados foi 45 pontos, e a média geral da turma foi 60 pontos. Após a revisão da prova, o professor atribuiu 10 pontos extras a todos os alunos. Com isso, a média dos alunos que permaneceram reprovados passou a ser 55 pontos, e a média dos alunos que ficaram aprovados (incluindo os novos aprovados) passou a ser 80 pontos. Com base nessas informações, quantos alunos inicialmente reprovados passaram a ser aprovados após a bonificação?

Um professor de Matemática propõe aos seus alunos a análise do seguinte sistema de equações lineares, dependente do parâmetro real 𝑚: {2x + 3y = 5; 4x + my = 10}

Durante a análise, um estudante observa que a segunda equação pode ser obtida multiplicando a primeira por 2, desde que 𝑚 = 6. Com base nessa observação, assinale a alternativa que apresenta corretamente a classificação do sistema para 𝑚 = 6 e sua interpretação geométrica no plano cartesiano.

A interseção entre um plano e um sólido geométrico pode gerar diferentes figuras planas, dependendo da posição e da inclinação do plano. Considere um cubo no espaço. Um plano o intercepta de modo que a interseção forme um polígono. Qual é o número máximo de lados que esse polígono pode possuir?

Sejam 𝐴 e 𝐵 matrizes quadradas de ordem 3, com det(𝐴)=2. A matriz 𝐵 é definida por 𝐵 = 3𝐴ᵀ · 𝐴⁻¹ em que 𝐴ᵀ é a transposta da matriz 𝐴, e 𝐴⁻¹ é a inversa de 𝐴. Com base nas propriedades dos determinantes, qual é o valor de det(𝐵)?

Durante uma aula sobre curvas cônicas, um professor apresentou a seguinte equação matricial: X · A · Xᵀ = 144, com X = [x y] e A = [[16, 0], [0, 9]]

Ao resolvê-la, um estudante afirmou: “Essa equação representa uma circunferência de raio 12, pois o resultado final é 144, que é 12²”. Diante dessa situação, qual das seguintes intervenções do professor é mais adequada do ponto de vista pedagógico?

Em um jogo, 8 fichas numeradas de 1 a 8 são colocadas em uma urna. Um jogador retira, sem reposição, 3 fichas ao acaso. O jogador vence se o produto dos números sorteados for par. Qual é a probabilidade de que esse jogador vença?

Durante uma aula no 3º ano do Ensino Médio, um professor propõe a análise da seguinte equação: x³ - 6x² + 11x - 6 = 0

Um estudante, ao observar os coeficientes, utiliza corretamente as Relações de Girard e afirma que a soma das raízes é 6 e o produto também é 6. Em seguida, outro estudante questiona: “É possível determinar se as raízes são reais ou complexas sem resolver a equação explicitamente?”. O professor decide explorar essa dúvida como oportunidade para aprofundar a compreensão dos estudantes sobre as propriedades dos polinômios. Considerando os aspectos matemáticos envolvidos e o potencial pedagógico da situação, analise as assertivas a seguir:

I. Se um polinômio de grau 𝑛 com coeficientes reais possui uma raiz complexa 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ( 𝑏 ≠ 0), então seu conjugado 𝑧̅= 𝑎 − 𝑏𝑖 também é obrigatoriamente raiz do polinômio.

II. Para a equação x³ - 6x² + 11x - 6 = 0, as Relações de Girard permitem concluir que, se as raízes estiverem em progressão aritmética, a raiz central será necessariamente igual a 2.

III. O Teorema Fundamental da Álgebra garante que um polinômio de grau 𝑛 ≥ 1 possui exatamente 𝑛 raízes reais, contando multiplicidades.

IV. De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, se o polinômio 𝑃(𝑥) = x³ - 6x² + 11x - 6 possuir raízes racionais, elas pertencerão obrigatoriamente ao conjunto {−6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6}.

Quais estão corretas?

Considere a função real f(x) = x² e assinale a alternativa que representa a função g(x) cujo gráfico é obtido a partir do gráfico de f(x) pelas seguintes transformações, nesta ordem:

1. Translação horizontal de 3 unidades para a direita.

2. Reflexão em torno do eixo X.

3. Translação vertical de 2 unidades para cima.

Considere uma progressão aritmética de três termos (𝑥, 𝑦, 𝑧), com 𝑥 < 𝑦 < 𝑧, cuja soma é 24. Sabe-se que os termos (𝑥 − 1), 𝑦 e (𝑧 + 5) formam uma progressão geométrica. Nessas condições, qual é o valor do produto 𝑥 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑧?