Questões de Álgebra Linear

Imagens digitais podem ser representadas como matrizes, onde cada elemento (ou pixel) da imagem tem um valor numérico que representa a intensidade ou cor do pixel. Essas matrizes podem ser muito grandes, especialmente quando lidamos com imagens de alta resolução. Nesse contexto, o uso de autovetores e autovalores contribui para reduzir a quantidade de dados, mantendo as informações essenciais das matrizes. Considere a matriz quadrada A, de ordem 3, definida por: A = [1 0 0; 2 4 0; 0 1 4]

Um autovetor associado ao autovalor λ = 1 é

A propriedade da decomposição em sistemas lineares é a combinação das propriedades da homogeneidade e da aditividade.

Na resolução de problemas de programação linear, o método simplex pode ser utilizado diretamente em problemas com variáveis inteiras, sem a necessidade de métodos adicionais, como o branch and bound ou o método de planos cortantes.

O conceito de dualidade é amplo e engloba a possibilidade do tratamento de duas naturezas distintas de uma mesma entidade. No caso de modelos matemáticos, a definição de dualidade tem um cunho próprio e associado ao processo de solução e aplicação prática dos modelos. Em modelos de programação linear, as regras de dualidade determinam os pares de modelos designados como primal-dual. Considerando o contexto da programação linear, julgue os itens a seguir, relativos à formação de um par primal-dual.

I Se o problema primal for de minimização, o problema dual é de maximização — e vice-versa.

II Se, na forma canônica, as restrições do problema primal forem da forma ∑iaixi ≥ 0, em que xi ≥ 0, no problema dual serão da forma ∑iaiui ≥ 0, em que ui ≥ 0.

III O número de restrições do problema primal é igual ao número de restrições do problema dual.

IV Os termos independentes no problema primal surgem como os coeficientes da função-objetivo no problema dual — e vice-versa.

Assinale a opção correta.

Considerando dois planos, P₁ e P₂, no espaço tridimensional e um terceiro plano, P₃, perpendicular a P₁ e paralelo distinto a P₂, julgue os itens a seguir.

I Os planos P₁ e P₂ são ortogonais.

II Os planos P₂ e P₃ não se intersectam.

III Os planos P₁ e P₃ possuem vetores normais colineares.

IV O produto interno entre os vetores normais dos planos P₁ e P₃ é diferente de zero.

Estão certos apenas os itens

Durante o ajuste, verificou-se que a matriz de projeto A tem posto deficiente (rank(A) < número de colunas).

Isso implica que

Com relação a forma implícita dos modelos de solução do Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), assinale a opção incorreta.

Um engenheiro de produção está utilizando programação linear para minimizar os custos operacionais de um centro cirúrgico. A análise envolve dois produtos, A e B, cujos dados são os seguintes: produto A consome 12 segundos de mão de obra e 9 litros de insumo por procedimento, com lucro de R$ 4,00 por procedimento. O produto B consome 1 segundo de mão de obra e 2 litros de insumo por procedimento, com lucro de R$ 7,00 por procedimento. Considerando uma disponibilidade diária de 80 litros de insumos e 20 horas de mão de obra, assinale a alternativa que representa corretamente a equação de restrição relacionada à capacidade de insumos.

Sejam \(\vec{v} = (3,0,4)\) e \(\vec{w} = (2,7,1)\) dois vetores em \(\mathbb{R}^{3}\) e denote por \( heta\) o ângulo entre \(\vec{v}\) e \(\vec{w}\) que varia de 0º a 180º. Qual é o valor de \(\cos( heta)\)?

Considere o operador linear \(T: \mathbb{R}^3 o \mathbb{R}^3\) dado por \[T(x, y, z) = (x - 2y - 2z, y, 2y + 3z)\]

É correto afirmar que uma base de autovetores para \(T\) pode ser expressa por: