Questões de Hipérboles

Considere uma hipérbole equilátera centrada na origem do plano cartesiano e cujo eixos estão alinhados com os eixos cartesianos.

Com base nessa informação, analise as afirmações seguintes.

I- A hipérbole possui equações das assíntotas igual a \(y=\pm x\).

II- Se a distância da origem ao vértice da hipérbole for \(\sqrt{2}\), então a hipérbole possui excentricidade \(e=\frac{\sqrt{2}}{2}\).

III- Se transladarmos a hipérbole do centro (0,0) para (1,1), o coeficiente angular das assíntotas permanece o mesmo.

É CORRETO o que se afirma em:

Um avião voa seguindo uma trajetória hiperbólica em função dos eixos cartesianos X’Y’, cuja equação é 2(y’)² – (x’)² = 8. No entanto a horizontal do terreno é orientando com eixo X e a sua vertical ao eixo Y, os planos dos eixos X’Y’ e XY são coincidentes.

Sabendo-se que o ângulo do eixo X para o eixo X’ é de 45° no sentido anti-horário, então a altura do avião, quando ele encontrar o eixo Y, será de

Dados dois pares ordenados (–4,0) e (4,0) que representam os focos de uma hipérbole de excentricidade igual a 2, é possível dizer que a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas é:

Considere as seguintes afirmações sobre as hipérboles:

I. As assíntotas da hipérbole, sobre o eixo Oy, são as retas: \(y = \pm \frac{b}{a}.x\)

II. Dizemos que uma hipérbole é equilátera se o comprimento do eixo focal é igual ao comprimento do eixo não focal, isto é, a = b.

III. Uma hipérbole sobre o eixo Ox possui equação \(\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 0\)

IV. A excentricidade da hipérbole é dada por \(e = \frac{c}{a}\)

V. Uma hipérbole sobre o eixo Oy possui equação \(\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)

VI. As assíntotas da hipérbole, sobre o eixo Ox, são as retas: \(x = \pm \frac{b}{a}.y\)

Podemos dizer que:

Seja P(x₀, y₀) o ponto da hipérbole x² - y² = 2 mais próximo do ponto (0, 1). Sabendo que x₀ · y₀ > 0, qual é o valor de x₀ + y₀?

A excentricidade da hipérbole de equação \(x^{2} - 4y^{2} - 6x - 16y - 43 = 0\) tem valor igual a

Dados dois pares ordenados (2,-4) e (2,0) que representam os vértices de um hipérbole de foco (2, -2 + √13), calcule a equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas.

A reta tangente à curva definida pela função \(4x^{2} - 9y^{2} = 36\) apresenta-se com inclinação perpendicular a um dos eixos coordenados no(s) ponto(s) de coordenada(s) respectivamente igual(is) a:

No plano cartesiano xOy, a cônica representada pela equação 3y² - 5x² - 10x + 18y = -7 consiste em uma hipérbole.